Numeri fracti по-русски
Система древнерусских дробей
В первых учебниках математики (VII в.) дроби называли долями, позднее «ломаными числами». В русском языке слово дробь появилось в VIII веке, оно происходит от глагола «дробить» — разбивать, ломать на части. При записи числа использовалась горизонтальная черта.
В старых руководствах есть следующие названия дробей на Руси:
Половина какого-либо количества обозначается словом «пол».
Одна треть числа — словом «треть».
Одна четверть — словом «четь» или «четверть».
Одна шестая — «полтрети».
Одна восьмая — «полчети» или «полчетверти».
Одна двенадцатая — «полполтрети».
Одна шестнадцатая — «полполчети».
Одна двадцать четвёртая — «полполполтрети».
Одна тридцать вторая — «полполполчети» и т. д.
Одна пятая – пятина
Одна седьмая - седьмина
Одна десятая – десятина
Доли же со знаменателями, большими 10, выговаривались с помощью слов «жеребий», например 5/13 – пять тринадцатых жеребьев. Нумерация дробей была прямо заимствована из западных источников. Числитель назывался верхним числом, знаменатель исподним.
В старых руководствах есть следующие названия дробей на Руси:
Половина какого-либо количества обозначается словом «пол».
Одна треть числа — словом «треть».
Одна четверть — словом «четь» или «четверть».
Одна шестая — «полтрети».
Одна восьмая — «полчети» или «полчетверти».
Одна двенадцатая — «полполтрети».
Одна шестнадцатая — «полполчети».
Одна двадцать четвёртая — «полполполтрети».
Одна тридцать вторая — «полполполчети» и т. д.
Одна пятая – пятина
Одна седьмая - седьмина
Одна десятая – десятина
Доли же со знаменателями, большими 10, выговаривались с помощью слов «жеребий», например 5/13 – пять тринадцатых жеребьев. Нумерация дробей была прямо заимствована из западных источников. Числитель назывался верхним числом, знаменатель исподним.
Переход к цифирному представлению
В допетровские времена русские пользовались старинным способом счета, который известен нам ныне под словом «цифирь».
Фактически, цифирь – это местный аналог римской системы счисления, где вместо привычных для нас цифр использовались кириллические буквы, но с рядом своих характерных особенностей, которые существенно усложняли ее использование.
Подобные цифири системы счисления не были чем-то редким и исключительным до массового распространения арабских цифр, к таким методам подсчета прибегали в разные времена разные народы. Например, алфавитной системой счисления очень долгое время пользовались тибетцы и, отдавая дань традиции, они периодически и по сей день используют такой способ записи цифр для обозначения книжных страниц.
Некоторые моменты в использовании цифири просты и доступны для восприятия: аз – это единица, веди – два и т.д. Во избежание возможной путаницы такие цифры сверху сопровождались дополнительным волнообразным символом – титлом, который отличал их от обычных букв текста. Цифры большего номинала имели другие, специальные символические изображения в виде дополнительных точек и черточек.
Сложности в освоении цифири, впрочем, начинались очень скоро, уже с первых двузначных чисел. Буквенное кириллическое обозначение 10 – i. Особенность написания цифр от 11 до 19 заключалась в том, что их надо было читать справа налево. Соответственно число 11, правильно записанное цифирью, выглядело бы как аi (1 + 10, грубо говоря). Навеки пропав из математики, эта особенность старорусского счета накрепко засела в языке. Вдумайтесь: один-на-дцать. Сначала в слове фигурирует не порядковое обозначение десятка, а цифра, следующая второй.
Подобные цифири системы счисления не были чем-то редким и исключительным до массового распространения арабских цифр, к таким методам подсчета прибегали в разные времена разные народы. Например, алфавитной системой счисления очень долгое время пользовались тибетцы и, отдавая дань традиции, они периодически и по сей день используют такой способ записи цифр для обозначения книжных страниц.
Некоторые моменты в использовании цифири просты и доступны для восприятия: аз – это единица, веди – два и т.д. Во избежание возможной путаницы такие цифры сверху сопровождались дополнительным волнообразным символом – титлом, который отличал их от обычных букв текста. Цифры большего номинала имели другие, специальные символические изображения в виде дополнительных точек и черточек.
Сложности в освоении цифири, впрочем, начинались очень скоро, уже с первых двузначных чисел. Буквенное кириллическое обозначение 10 – i. Особенность написания цифр от 11 до 19 заключалась в том, что их надо было читать справа налево. Соответственно число 11, правильно записанное цифирью, выглядело бы как аi (1 + 10, грубо говоря). Навеки пропав из математики, эта особенность старорусского счета накрепко засела в языке. Вдумайтесь: один-на-дцать. Сначала в слове фигурирует не порядковое обозначение десятка, а цифра, следующая второй.
Если в римской системе счисления для обозначения цифр от 1 до 10 и для обозначения целых десятков используются, чаще всего, одни и те же буквы, то в цифири все абсолютно не так. Система тяготела к тому, чтобы наделить каждую букву прикрепленным к ней значением. Литерой «к» обозначали 20, вышедшая из употребления буква ѱ – 700, а вот, например, «ц» означала 900.
Как и у других непозиционных представлений, проблемы при работе с дробными значениями и неудобство выполнения сложных алгебраических операций – умножение и деление. Также не было 0, который играл большую роль в развитии точных наук. Именно поэтому в восемнадцатом веке, при Петре I, начали использовать систему, которая использует числа от 0 до 9 – десятичную. Используем мы её и сейчас.
Особенности древнерусского речевого выражения правильных и смешанных дробей в доцифирной арифметике.
Часто в древнерусских источниках дроби выражаются посредством сложения и вычитания. Например, 11/24 = треть (1/3) и полполтрети (+1/12 ) и полполполтрети (+1/24). Или
26/96= треть без полполполчетверти (1/3 — 1/32).
Следует остановиться также на обозначении целых чисел с дробями. Для обозначения какого-то числа единиц без половины единицы употребляется выражение: пол-указанного неполного количества единиц. Например:2,1/2= полтретьи (три без половины, 2 единицы и половина третьей единицы); 3,1/2= полчетверты; 5,1/2= полпяты и т. д.
Не следует путать выражения: полтретьи (2,1/2) и полтрети (1/6); полчетверты (3,1/2) и полчетверти (1/8).
Целое число с дробью (больше половины) древнерусские источники выражают путём вычитания. Например, 4,3/4= 5 без четверти, 6,7/8= 7 без полчетверти, 9,11/12= 10 без полполтрети.
Для целых чисел с дробью (меньше половины) мы найдём такие выражения: два с третью (2,1/3), три с четью (3,1/4) и т. д.
Авторские примеры
26/96= треть без полполполчетверти (1/3 — 1/32).
Следует остановиться также на обозначении целых чисел с дробями. Для обозначения какого-то числа единиц без половины единицы употребляется выражение: пол-указанного неполного количества единиц. Например:2,1/2= полтретьи (три без половины, 2 единицы и половина третьей единицы); 3,1/2= полчетверты; 5,1/2= полпяты и т. д.
Не следует путать выражения: полтретьи (2,1/2) и полтрети (1/6); полчетверты (3,1/2) и полчетверти (1/8).
Целое число с дробью (больше половины) древнерусские источники выражают путём вычитания. Например, 4,3/4= 5 без четверти, 6,7/8= 7 без полчетверти, 9,11/12= 10 без полполтрети.
Для целых чисел с дробью (меньше половины) мы найдём такие выражения: два с третью (2,1/3), три с четью (3,1/4) и т. д.
Авторские примеры
- 7/8=1/8+1/4+1/2 (полчети, да четь, да половина)
- 7/16=1/2-1/16 ( половина без полполчети)
- 5,1/2 (полшесты)
- 8,15/16 (8 без полполчети)
- 6,1/6 (6 с полтретью)
Сошная арифметика
Исторические и экономические причины возникновения
Если же учесть, что речь идет об особой арифметике — сошных дробях, то следует обратить внимание на историко-экономическую сторону такой арифметики. “Сошное письмо” предназначалось для реализации разработанного практически “с нуля” и осуществленного правительством Ивана Грозного в середине XVI в. государственного фискального проекта “Большая соха” по налоговому обложению огромных земельных угодий России. Задача собрать все до копейки потребовала бы затраты немалых средств и времени для обучения (в том числе и математике) огромной армии сборщиков налога, на подготовку и содержание отрядов для их охраны и для выбивания долгов. При такой перспективе деятельность фискальных служб грозила увязнуть в проблемах и растянуться на долгие годы, так и не достигнув желаемого результата. В таких условиях наиболее оптимальным было поставить перед соответствующими службами задачу реализации проекта “Большой сохи” по типу минимакса: с наименьшими издержками достигнуть максимума возможного результата в налогообложении. Априори, например, можно было ее (задачу) решать путем разработки простого способа для приближенного подсчета налоговых сборов, в котором за счет ослабления точности результата достигался бы выигрыш во времени и затрате умственных усилий. При этом должна была существовать возможность быстрой и доступной/простой проверки расчетов, чтобы сократить число апелляций налогоплательщиков и их жалоб на недобросовестность счетчиков/писцов.
Особенности сошной арифметики
В состав древнерусской арифметики входила сошная арифметика, которая ориентировалась не на точность, а на приближенность результатов. Это подтвердил недавними исследованиями израильский ученый М.А. Цайгер, который отметил, что в сошной арифметике результаты имели точность до 1/48: “Если же в итоге получались более мелкие дроби, то их попросту отбрасывали, полагая, что их учет не повлияет по существу на результат”. Поэтому в действительности древнерусская измерительная геометрия и сошная арифметика были объединены общим подходом – достижением результата с опорой на приближенные методы – “скорости ради мерныя”, что определяло “обилие свободной земли” (А.П. Юшкевич).
В состав древнерусской арифметики входила сошная арифметика, которая ориентировалась не на точность, а на приближенность результатов. Это подтвердил недавними исследованиями израильский ученый М.А. Цайгер, который отметил, что в сошной арифметике результаты имели точность до 1/48: “Если же в итоге получались более мелкие дроби, то их попросту отбрасывали, полагая, что их учет не повлияет по существу на результат”. Поэтому в действительности древнерусская измерительная геометрия и сошная арифметика были объединены общим подходом – достижением результата с опорой на приближенные методы – “скорости ради мерныя”, что определяло “обилие свободной земли” (А.П. Юшкевич).
Инструменты и приемы сошной арифметики
В арифметических рукописях обычно кратко рассматриваются два способа инструментального счета - “счет костьми” и “дощаной счет”. Им уделено неодинаковое внимание: “Обширная глава “о счете костьми” во всех списках состоит из наставления, как подготовить для счета стол, и из отдельных “статей” о 4 действиях и их проверке. Раздел “о дощаном счете” короче: в нем говорится только, как сделать прибор, и дается самая общая оценка его”. Обе системы инструментального счета в течение некоторого времени сосуществовали и даже были взаимосвязаны: многие функции дощаного счета, равно как и используемая терминология, были прямо заимствованы из счета костьми. Тем не менее, дощаный счет, явившийся прообразом русских счетов, сохранившихся как вычислительный инструмент до сих пор, можно считать оригинальным отечественным изобретением, имевшим многовековое употребление и оставившим значительный след в нашем языке, породив такие выражения, как “сбрасывать со счетов”, “сводить счеты”, “прикидывать”, “скостить” и др.
Читать далее
В арифметических рукописях обычно кратко рассматриваются два способа инструментального счета - “счет костьми” и “дощаной счет”. Им уделено неодинаковое внимание: “Обширная глава “о счете костьми” во всех списках состоит из наставления, как подготовить для счета стол, и из отдельных “статей” о 4 действиях и их проверке. Раздел “о дощаном счете” короче: в нем говорится только, как сделать прибор, и дается самая общая оценка его”. Обе системы инструментального счета в течение некоторого времени сосуществовали и даже были взаимосвязаны: многие функции дощаного счета, равно как и используемая терминология, были прямо заимствованы из счета костьми. Тем не менее, дощаный счет, явившийся прообразом русских счетов, сохранившихся как вычислительный инструмент до сих пор, можно считать оригинальным отечественным изобретением, имевшим многовековое употребление и оставившим значительный след в нашем языке, породив такие выражения, как “сбрасывать со счетов”, “сводить счеты”, “прикидывать”, “скостить” и др.
Читать далее
Оценка практической значимости рукописи "Роспись по сошному письму, как которая кость с которую кость кладется"
Сошное письмо имело большую значимость, потому что данная рукопись помогала достичь нужного результата с наименьшими потерями.
21 правило, представленное в рукописи
1. Одна вторая плюс одна четвертая плюс одна шестая плюс одна двенадцатая равно 1.
2. Одна третья плюс одна четвертая плюс одна двенадцатая равно две третьих.
3. Одна третья плюс одна шестая равно одна вторая.
4. Одна третья плюс одна восьмая плюс одна двенадцатая равно одна вторая.
5. Одна четвертая плюс одна шестая плюс одна двенадцатая равно одна вторая.
6. Одна четвертая плюс одна двенадцатая равно одна третья.
7. Одна шестая плюс одна двенадцать четвертая равно одна третья.
8. Одна восьмая плюс одна двадцать четвертая равно одна шестая.
9. Одна шестая плюс одна двенадцатая равно одна четвертая.
10. Одна двенадцатая плюс одна двадцать четвертая равно одна восьмая.
11. Одна четвертая плюс одна восьмая плюс одна двенадцатая плюс одна двадцать четвертых равно одна третья плюс одна шестая.
12. Одна четвертая плюс одна шестая равно одна третья плюс одна двенадцатая .
13. Одна восьмая плюс одна двенадцатая равно одна шестая плюс одна двенадцать четвертая.
14. Одна третьих плюс одна четвертая равно одна вторая плюс одна двенадцатых .
15. Одна четвертая плюс одна шестая равно одна вторая минус одна двадцать четвертых
16. Одна третья плюс одна восьмая равно одна вторая минус одна двадцать четвертых.
17. Одна шестая плюс одна двенадцатая плюс одна двадцать четвертая равно одна третья минус одна двадцать четвертая.
18. Одна восьмая плюс одна шестнадцатая плюс одна тридцать вторая равно одна четвертая минус одна тридцать вторая.
19. Одна восьмая плюс одна двенадцатая плюс одна шестнадцатая плюс одна тридцать вторая равно одна третья минус одна тридцать вторая.
20. Одна восьмая плюс одна двенадцатая равно одна четвертая минус одна двадцать четвертая.
21. Одна шестая плюс одна двадцать четвертая равно одна четвертая минус одна двадцать четвертых.
2. Одна третья плюс одна четвертая плюс одна двенадцатая равно две третьих.
3. Одна третья плюс одна шестая равно одна вторая.
4. Одна третья плюс одна восьмая плюс одна двенадцатая равно одна вторая.
5. Одна четвертая плюс одна шестая плюс одна двенадцатая равно одна вторая.
6. Одна четвертая плюс одна двенадцатая равно одна третья.
7. Одна шестая плюс одна двенадцать четвертая равно одна третья.
8. Одна восьмая плюс одна двадцать четвертая равно одна шестая.
9. Одна шестая плюс одна двенадцатая равно одна четвертая.
10. Одна двенадцатая плюс одна двадцать четвертая равно одна восьмая.
11. Одна четвертая плюс одна восьмая плюс одна двенадцатая плюс одна двадцать четвертых равно одна третья плюс одна шестая.
12. Одна четвертая плюс одна шестая равно одна третья плюс одна двенадцатая .
13. Одна восьмая плюс одна двенадцатая равно одна шестая плюс одна двенадцать четвертая.
14. Одна третьих плюс одна четвертая равно одна вторая плюс одна двенадцатых .
15. Одна четвертая плюс одна шестая равно одна вторая минус одна двадцать четвертых
16. Одна третья плюс одна восьмая равно одна вторая минус одна двадцать четвертых.
17. Одна шестая плюс одна двенадцатая плюс одна двадцать четвертая равно одна третья минус одна двадцать четвертая.
18. Одна восьмая плюс одна шестнадцатая плюс одна тридцать вторая равно одна четвертая минус одна тридцать вторая.
19. Одна восьмая плюс одна двенадцатая плюс одна шестнадцатая плюс одна тридцать вторая равно одна третья минус одна тридцать вторая.
20. Одна восьмая плюс одна двенадцатая равно одна четвертая минус одна двадцать четвертая.
21. Одна шестая плюс одна двадцать четвертая равно одна четвертая минус одна двадцать четвертых.
Вычисления
